Das mit dem Privat beschränkt sich bei Wegen meist darauf wer für die Instandhaltung verantwortlich ist, drauf rumfahren kann im Prinzip jeder. Ich habe auch so einen Weg mit öffentlicher Widmung (Wanderweg) auf meinem Grundstück, da darf jeder durch ob mir das passt oder nicht. Bei der Instandsetzung ist die Gemeinde nicht so großzügig, immerhin schreibt mir noch keiner vor wann im Winter geräumt sein muss .
Die Verkehrssicherungspflicht hast Du übrigens auch wenn dein Wald an den Weg grenzt, dann musst Du auch dafür sorgen dass da nichts zuwuchert und darauf achten dass kein morscher Baum auf den Weg fallen kann. Machst das nicht bist halt dran.